MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 26


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1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 26

2 Modelos lineales: PVI MATE 4009 Objetivo En esta secciûn se resolver n sistemas din micos lineales en el cual cada modelo matem tico es una EDL de 2do orden con coeöcientes constantes con condiciones iniciales establecidas en t = 0 : de la forma: a d 2 y dt 2 + b dy dt + cy = g (t), y (0) = y 0, y 0 (0) = y 1 donde la funciûn g es la entrada, o funciûn de del sistema. Una soluciûn y (t) de la ED en el intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las CI es llamada la salida o respuesta del sistema. P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 26

3 Ley de Hooke Por la ley de Hooke el resorte el propio resorte ejerce una restauraciûn fuerza opuesta a la direcciûn de alargamiento y proporcional a la cantidad F de elongaciûn s y se representa por: F = ks. P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 26

4 Segunda ley de Newton DespuÈs que una masa m se ata a un resorte, y lo estira al resorte por una cantidad s y alcanza una posiciûn de equilibrio en el que su peso W es equilibrado por la fuerza de restauraciûn ks. La condiciûn de equilibrio es mg " ks = 0. Si la masa se desplaza por una cantidad x desde su posiciûn de equilibrio, la fuerza de recuperaciûn del resorte es entonces k(x + s). Por la segunda ley de Newton se obtiene la ED: m d 2 x dt 2 = "k (s + x) + mg = "ks "kx + mg = "kx (1) {z } 0 La ecuaciûn del movimiento libre sin amortiguaciûn es: m d 2 x dt 2 + kx = 0 Û x 00 + k w x = 0 Û x 00 + w 2 x = 0 (2) La condiciones iniciales son: x (0) = x 0 y xí(0) = x 1 La soluciûn general de (2) es: x (t) = c 1 cos wt + c 2 sin wt P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 26

5 Se considera lo siguiente: Periodo: T = 2π/w y representa el tiempo (en seg) que le toma a la masa ejecutar un ciclo del movimiento. Frecuencia: F = 1/T = w/2π representa el n mero de ciclos completados cada segundo. Frecuencia circular: w = p k/m se mide en radianes por segundo. Nota La soluciûn general se puede representar en la forma: x (t) = A sin (wt + φ) donde: q A = c1 2 + c2 2 φ : ngulo de fase es la amplitud P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 26

6 Ejemplos 1 3: p g. 194 MATE 4009 P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 26

7 P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 26

8 2 6: p g. 194 P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 26

9 P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 26

10 Movimiento libre amortiguado En el estudio de mec nica, las fuerzas de amortiguamiento que act an sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instant nea. En este caso se considera proporcional a dx dt = x 0 y se obtiene la ED: Û m d 2 x dt 2 m d 2 x dt 2 = "kx " β dx dt (3) + β dx dt + kx = 0"Û d 2 x dt 2 + 2λ dx dt + w 2 x = 0 donde: 2λ = β m, w 2 = k m P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 26

11 La ecuaciûn caracterìstica es: m 2 + 2λ + w 2 = 0 cuya soluciûn es: m = "λ$ p 4λ 2 "4w 2 2 = "λ $ p λ 2 " w 2 cada soluciûn tiene un factor de amortiguamiento: e "λ, λ > 0. Se tienen los siguientes casos: 1. λ 2 " w 2 > 0, en este caso se dice que el sistema est sobre amortiguado y su soluciûn es: P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 26

12 2. λ 2 " w 2 = 0, en este caso se dice que el sistema est criticamente amortiguado y su soluciûn es: 3. λ 2 " w 2 < 0, en este caso se dice que el sistema est bajo amortiguamiento y su soluciûn es: P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 26

13 3 21: p g. 195 P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 26

14 P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 26

15 4 26: p g. 196 P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 26

16 P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 26

17 Movimiento libre amortiguado y forzado Suponga que se considera una fuerza externa f (t) que act a sobre sistema masa resorte que esta en movimiento y se obtiene la ED: Û m d 2 x dt 2 m d 2 x dt 2 = "kx " β dx dt + β dx dt + kx = f (t) "Û d 2 x dt 2 + f (t) (4) + 2λ dx dt + w 2 x = F (t) (5) donde: 2λ = β m, w 2 = k m, F (t) = f (t) /m. La funciûn f (t) es usualmente una funciûn seno o coseno. Este sistema tiene una una soluciûn transitoria (x c (t)) y soluciûn estable (x p (t)). P. V squez (UPRM) Conferencia 17 / 26

18 Movimiento libre sin amortiguamiento y forzado Suponga que se considera una fuerza externa f (t) que act a sobre sistema masa resorte que esta en movimiento y se obtiene la ED: Û m d 2 x dt 2 m d 2 x = "kx + f (t) (6) dt 2 + kx = f (t) "Û d 2 x + w 2 x = F (t) (7) dt 2 donde: F (t) = F 0 sin γt, con x (0) = x 0 y xí(0) = x 1 Nota Si w = γ entonces se tiene resonancia pura. P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 26

19 5 30: p g. 196 P. V squez (UPRM) Conferencia 19 / 26

20 P. V squez (UPRM) Conferencia 20 / 26

21 6 36: p g. 197 P. V squez (UPRM) Conferencia 21 / 26

22 P. V squez (UPRM) Conferencia 22 / 26

23 Circuitos en serie Muchos sistemas fìsicos se pueden describir mediante la ecuaciûn diferencial: Û m d 2 x dt 2 + β dx dt + kx = f (t) " (8) Si i (t) representa la corriente en el circuito elèctirco LRL, entonces la caìda de voltaje a travès del inductor, resistor y capacitor se muestran en la Ögura. Por la segunda ley de Kircho se tiene: Û L di dt + Ri + 1 C q = E (t) " (9). Como la carga q (t) se relacionacon la corriente i (t) por i = dq dt, entonces (9) se transforma en: Û L d 2 q dt 2 + R dq dt + 1 C q = E (t) " (10) P. V squez (UPRM) Conferencia 23 / 26

24 7 46: p g. 198 P. V squez (UPRM) Conferencia 24 / 26

25 P. V squez (UPRM) Conferencia 25 / 26

26 P. V squez (UPRM) Conferencia 26 / 26

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