(a) [0,7 puntos] Encuentre los valores de las constantes A y B, y del punto x 2 (0, 1) de modo que la fórmula de cuadratura:


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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERÍA. INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS. Cálculo Numérico, Control 3. Semestre Otoño 7 Problema ( puntos) (a) [,7 puntos] Encuentre los valores de las constantes A y B, y del punto x (, ) de modo que la fórmula de cuadratura: xf(x) dx = Af(/3) + Bf(x ) sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a. (b) [,6 puntos] Diga cual es el grado de precisión de la fórmula de cuadratura encontrada por usted. Justifique su respuesta. (c) [,7 puntos] Aplique dicha fórmula para encontrar una aproximación de 3 xe x dx (a) Primero veamos como quedan las integrales exactas para los polinomios de la forma f(x) = x k, donde k =,,. k = : k = : k = : x / dx = 3 x3/ = 3 x 3/ dx = 5 x5/ = 5 x 5/ dx = 7 x7/ = 7 y usando la fórmula de integración se tiene entonces las siguientes ecuaciones: Si k = : A + B = A = ( B) 3 3 Si k = : 3 A + Bx = 5 3 ( 3 B) + Bx = 5 (x 3 )B = 8 5 Si k = : 9 A + Bx = 7 9 ( 3 B) + Bx = 7 (x )B = 9 89 (x + )(x 3 )B = 3 89 (x + 3 ) = 5

2 de donde concluimos que x = 6. Por tanto, sustituyendo en las expresiones anteriores concluimos 7 que: B = 56 y A = y por ende, la fórmula queda: [ ] 5 56 xf(x) dx = f(/3) f(6/7) (b) De la parte anterior vemos que, al menos tiene grado de presición, veamos para f(x) = x 3 si la fórmula es exacta o no, para esto, calculamos primero: y según la fórmula, x 7/ dx = 9 x9/ = 9. x / x 3 dx = 3 = 3 [ 5 55 ( ) ] [ = ( ) ] por lo que concluimos que el grado de precisión de la fórmula es. (c) Primero hacemos el cambio de variable y entonces: x = 3y dx = 3dy 3 xe x dx = 3ye 3y 3dy = 3 3 ye 3y dy [ 5 = = e ] 6 55 e 3 7

3 Problema ( puntos) El movimiento en un sistema masa-resorte amortiguado se describe con la siguiente ecuación diferencial: donde m d x dt + cdx dt + kx = x : representa el desplazamiento de la posición de equilibrio. t : respresenta el tiempo. m : representa la masa, aqui consideraremos que m =. c : representa el coeficiente de amortiguamiento, aqui consideraremos que c = 5. k : representa la constante del resorte, aqui consideraremos que k =. La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es x =. Usando el método de Runge- Kutta de orden y tomando el tamaño de paso h =.5, diga el desplazamiento y la velocidad en el tiempo t =. Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación diferencial se tiene: d x dt + 5dx dt + x = d x dt = [ ] dx dt + 8x y haciendo el cambio de variables y = x, z = dx dt y considerando que y() = x() = y z() = x () = se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con condiciones iniciales: y = z = f(t, y, z) z = (z + 8y) = g(t, y, z) y() = z() = al cual le aplicamos el método de Runge-Kutta, obteniendo: Y k+ = Y k + h [f(t k, Y k, Z k ) + f(t k+, Y k + hf(t k, Y k, Z k ), Z k + hg(t k, Y k, Z k ))] = Y k + h [ Z k + (Z k + h( ] (Z k + 8Y k ) = Y k + [Z k ] Z k Y k = Y k Z k 3

4 y para Z k se tiene: Z k+ = Z k + h [g(t k, Y k, Z k ) + g(t k+, Y k + hf(t k, Y k, Z k ), Z k + hg(t k, Y k, Z k ))] = Z k + h [ (Z k + 8Y k ) ( Z k + h( )] Z k Y k ) + 8(Y k + hz k ) = Z k + [ Z k Y k (Z k )] Z k Y k + 8Y k + Z k = Z k + [ Z k Y k + 8 ] Z k + Y k Y k Z k = 7 Y k Z k Si ahora ponemos Y = y Z =, se tiene que Y = Y Z = Z = 7 Y Z = 7 Y = Y Z = ( ) ( 7 ) = 33 6 Z = 7 Y Z = 7 ( ) ( 7 ) = 75 8 y como Y k y(t k ) = x(t k ) y Z k z(t k ) = x (t k ) y t k = kh, entonces se tiene que el desplazamiento en t = es x() Y =, 556 y la velocidad es x () Z =, 367. Problema 3 ( puntos). Se dispara un proyectil al aire para alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia π y a una altura, con respecto a la posición inicial del mismo. Suponga que la ecuación diferencial que modela la trayectoria del proyectil está dada por: y (x) = y(x), x (, π), y() =, (.) y( π) =. El objetivo de este problema es encontrar la trayectoria del proyectil y en función de su distancia horizontal recorrida x. Para esto, suponga que el proyectil es disparado formando un ángulo α con respecto a la horizontal. Para resolver este problema, en lugar de resolver directamente el problema con condiciones de borde (.), se propone resolver el siguiente problema con valores iniciales: y (x) = y(x), x (, π ), y() =, y () = α. (a) [,5 puntos] Usando el método de Euler con paso h = π, resuelva el problema (.), 6 considerando α como un parámetro. (.)

5 (b) [,5 punto] Estime el valor de α de modo que y(x) satisfaga la condición requerida para que el proyectil alcance su objetivo de manera aproximada, es decir, estime α de modo que y( π ). (a) Haciendo el cambio de variable y = y, z = y, y considerando que y() = y z() = y () = α, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: y = z = f(t, y, z) z = y = g(t, y, z) y() = z() = α al cual le aplicamos el método de Euler con h = π 6, obteniendo: y para Z k se tiene: Y k+ = Y k + hf(t k, Y k, Z k ) = Y k + hz k = Y k + π 6 Z k Z k+ = Z k + hg(t k, Y k, Z k ) = Z k hy k = π 6 Y k + Z k Si ahora ponemos Y = y Z = α, y t =, t = π 6, t = π 3 y t 3 = π se tiene que Y = Y + π 6 Z = π 6 α Z = π 6 Y + Z = α Y = Y + π 6 Z = π 6 α + π 6 α = π 3 α Z = π 6 Y + Z = π 6 (π π α) + α = ( 6 36 )α Y 3 = Y + π 6 Z = π 3 α + π π ( 6 36 )α = (π 3 + π 6 π3 6 )α Z 3 = π 6 Y + Z = π 6 (π 3 π π α) + ( )α = ( 36 )α (b) Como Y k y(t k ) y Z k z(t k ) = y (t k ) y t k = kh, entonces se tiene que para alcanzar el objetivo, Y 3 y( π ) = y por tanto, y expresado en grados se tiene que α =, Y 3 = ( π 3 + π 6 π3 6 )α = 6 α = (8 π )π 5

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